پروژه خطای اندازه گیری در رگرسیون
قسمتی از متن:
مقدمه
در اکثر آزمایشاتی که در سراسر دنیا صورت می گیرد، مشاهدات علمی مقدار واقعی نبوده بلکه مقادیر به دست آمده همراه با یک نوع خطا است. در علوم آماری چنین خطایی به خطای اندازه گیری[1] معروف است. به خصوص در علومی مانند علوم آموزشی، علوم زیستی خطای اندازه گیری غیرقابل انکار است. به عنوان مثال در تعیین سطح نمرات یک کلاس یا تعیین ضریب هوشی افراد بسته به موقعیت زمانی، نوع سؤالات و وضعیت روحی افراد چنین خطایی وجود دارد. به عنوان مثال دیگر، در اندازه گیری فشار و کلسترول خون افراد، نمی توان به صورت دقیق مقادیر واقعی آن ها را اندازه گیری کرد. به عبارتی دیگر در بسیاری از آزمایشات در علوم مختلف، اگر اندازه گیری بر روی یک فرد تکرار شود، انتظار نمی رود همیشه به نتایج یکسانی دست پیدا کرد. این نوع خطا ممکن است به دلایل مختلفی از جمله دقت پایین دستگاه اندازه گیری، شرایط نامناسب زمان آزمایش و اشتباه در ثبت اطلاعات رخ دهد. چنین خطایی باعث بروز مشکلاتی در تحلیل داده ها شده و می تواند اعتبار نتایج به دست آمده را زیر سوال ببرد و حتی نادیده گرفتن چنین خطایی معمولا باعث نتیجه های گمراه کننده ای می شود (دگرسی و فولر،1972). از نقطه نظر تاریخی هنگامی که فولر (1987) قصد داشت رابطه رگرسیونی بین ذرت به دست آمده و نیتروژن موجود در خاک را برازش دهد، متوجه این نوع خطا شد. ایشان بعد از آزمایشات دقیق متوجه شد که نیتروژن موجود در خاک را نتوانسته به صورت دقیق اندازه گیری کند. سپس نشان داد که با نادیده گرفتن خطای اندازه گیری پارامترهای مدل های رگرسیونی اریب برآورد شده و در نتیجه باعث برازش مدل های گمراه کننده شده است. به علاوه ایشان مطالعات گسترده ای روی مدل های رگرسیونی ساده که متغیرهای تبیینی یا متغیر پاسخ یا هردوی آن ها آمیخته به خطای اندازه گیری است انجام داد و ثابت کرد که در صورت معلوم بودن نرخ قابلیت اعتماد[2]، می توان پارامترهای مدل را با دقت زیادی برآورد کرد و مدل دقیق تری را برازش داد. حاصل تلاش های وی منجر به نگارش کتاب جامع ای به نام مدل های خطای اندازه گیری[3] شد. البته موضوع خطای اندازه گیری تنها محدود به مدل های رگرسیونی خطی نشده بلکه در مدل های مختلف از جمله مدل های رگرسیونی غیرخطی (کارول و همکاران،2006) و بد رده بندی[4] (گلداستاین و همکاران، 2008) نیز گسترش یافته است.
به منظور مطالعه دقیق تاثیر خطای اندازه گیری بر نتایج حاصل از مدل های رگرسیونی، در این فصل به مفاهیم اولیه خطای اندازه گیری پرداخته می شود.
2.1 خطای اندازه گیری در رگرسیون خطی ساده
برای ارائه تصویر روشنی از موضوع خطای اندازه گیری و تأثیر آن در برازش یک مدل و برآورد پارامترهای آن، مدل رگرسیونی خطی ساده مورد مطالعه قرار داده می شود. بدین منظور مدل رگرسیونی خطی ساده
(1.2.1)
را در نظر بگیرید، که در آن خطاهای مدل هستند که دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس ثابت می باشند و متغیر پاسخ و متغیر پیشگوی رگرسیونی است واضح است که و و پارامترهای مدل هستند. در مدل (1.2.1) ها ترکیبی از انواع خطاها از جمله خطای رگرسیونی لحاظ نمی شود. به طور دقیق تر ها ترکیبی از انواع خطاها از جمله خطای اندازه گیری، خطای لحاظ نکردن متغیرهای تبیینی دیگر در مدل و ... است که نادیده گرفتن هریک از این خطاها باعث برازش مدل های غیرواقعی می شود. فرض معمول در رگرسیون این است که ها مقادیر کنترل شده معلوم هستند. اما برای مدل (1.2.1) فرض می شود مقادیر دقیق ها معلوم نیستند. به عبارتی دیگر قبول می کنیم که در این مدل ها مقادیر واقعی هستند لیکن به دلیل آلودگی با خطای اندازه گیری آن ها را مشاهده نکردیم. چنین متغیرهایی در آمار به متغیرهای پنهان[5] معروف اند. آنگاه خطای اندازه گیری به صورت اختلاف مقادیر مشاهده شده و متغیر پنهان تعریف می شود. از این رو می توان نوشت:
[1] Measurement error
[2] Reliability rate
[3] Measurement error models
[4] Misclassification
[5] Latent variables