بهینه سازی آنتروپی شبکه های مقیاس آزاد
جهت استحکام در برابر خرابی های تصادفی
چکیده
بسیاری از شبکه ها با توزیع بسیار ناهمگن از پیوندهایشان شناخته می شوند، اینگونه شبکه ها مقیاس آزاد یا مستقل از مقیاس نامیده می شوند که توزیع درجه آن ها از فرمول ck-α p(k) ̴ پیروی میکند. در این مقاله ، استحکام این شبکه ها در مقابل خرابی های تصادفی را با توجه به خصیصه ناهمگونی آنها بررسی می‌کنیم. آنتروپی توزیع درجه می‌تواند معیار متوسطی از ناهمگونی یک شبکه باشد. بهینه سازی استحکام شبکه های مقیاس آزاد با میانگنین اتصال ثابت در مقابل خرابی های تصادفی برابر است با بیشینه کردن آنتروپی توزیع درجه ها. با بررسی رابطه بین آنتروپی توزیع درجه ها و توان مقیاس[1] و کمینه اتصال، می‌توان به یک طراحی بهینه برای شبکه های مقیاس آزاد مستحکم در مقابل خرابی های تصادفی رسید. در انتها نتیجه می‌گیریم که آنتروپی توزیع درجه ها یک معیار موثر برای استحکام شبکه ها در مقابل خرابی های تصادفی است.
کلمات کلیدی : شبکه های مقیاس آزاد، نظریه اطلاعات، آنتروپی، خرابی‌های تصادفی.
[1] Scaling exponent
. مقدمه
بسیاری از سیستم های پیچیده توسط شبکه ای از تعاملات میان اجزاء آن مشخص می شوند. نشان داده شده است که بسیاری از شبکه ها در الگوهای ارتباطی خود به شدت ناهمگن هستند. با نگاه کردن به توزیع درجه ی p(k) که بیانگر، احتمال داشتن یک گره با k لینک است، به راحتی می توان ناهمگنی را تشخیص داد. اکثر شبکه های پیچیده را می توان با توزیع درجه ck-α p(k) ̴ توصیف کرد، که α ∈ (2,3). این شبکه ها شامل شبکه های اجتماعی (مانند شبکه های فیلم ـ بازیگر، شبکه های استناد علمی و شبکه های همکاری)، اینترنت و وب جهان گستر، شبکه های متابولیک، شبکه های تعامل پروتئین، و غیره هستند [1-5].
از زمانی که آلبرت و همکاران، مسئله ی خرابی های تصادفی و حملات عمدی در شبکه ها را مطرح کردند [6]، علاقه شدیدی برای مطالعه انعطاف پذیری شبکه ها در مقابل خرابی گره ها و حملات عمدی بوجود آمده است [7-12]. ماگونی استراتژی های عمومی حمله در اینترنت را مورد بررسی قرار داده است [13]. مهم است که بفهمیم چطور می‌توان شبکه‌هایی طراحی کرد که هم در مقابل خرابی ها و هم در مقابل حملات بصورت بهینه مستحکم باشند.
بسیاری از محققان از نظریه نفوذ [1] برای بررسی این مسئله استفاده می کنند [14،7]. کسر p از گره ها به همراه اتصالاتشان بصورت تصادفی برداشته شدند، یکپارچگی می توانست به خطر بیافتد، برای آلفای بزرگتر از 3 و یک مقدار دقیقی از آستانه تحمل که با pc نشان داده می شود و هنگامی که مقدار p بزرگتر از آن شود شبکه تقسیم می‌شود به قسمت های کوچکتر که جدا از هم هستند. در زیر آن مقدار آستانه بحرانی، شبکه همچنان متصل است. برای α بین 2 و 3 شبکه ارتجاعی تر است و مقدار pc متمایل به 1 است [7]. تعدادی از پژوهشگران نیز، روی بهینه سازی شبکه جهت استحکام در مقابل هر دو عامل خرابی های تصادفی و حملات، بر اساس نظریه نفوذ، مطالعه می‌کنند [17-15].
یک ویژگی ساده و ذاتی در شبکه های مقیاس آزاد، توزیع ناهمگون پیوندهایشان است. بعلاوه، ناهمگونی شبکه ارتباط مستقیمی با داشتن حالت ارتجاعی در برابر حملات دارد. بسیاری از شبکه های دنیای واقعی، مقیاس آزاد و مستحکم در برابر خطاهای تصادفی هستند ولی در مقابل حملات هدفدار آسیب پذیرند. ناهمگونی را می توان توسط آنتروپی اندازه گیری کرد [19-18]. سوله و همکاران، از آنتروپی درجه های باقیمانده و اطلاعات متقابل، برای بررسی تعدادی از شبکه ها که ناهمگونی و درهمیدگی متفاوتی داشتند استفاده کردند [19].
در این مقاله، جدا از نظریه نفوذ، دیدگاه دیگری را بررسی می کنیم؛ آنتروپی توزیع درجه گره ها، برای توصیف ناهمگونی شبکه های مقیاس آزاد. برای طراحی بهینه شبکه های مقیاس آزاد، در برابر خرابی های تصادفی، ما استحکام شبکه در برابر خرابی های تصادفی را بیشینه می‌کنیم در حالی که هزینه را ثابت نگه می داریم، یعنی میانگین تعداد پیوندها به ازای هر گره ثابت می ماند. ما به این نتیجه می رسیم که استحکام شبکه های مقیاس آزاد در مقابل خرابی های تصادفی برابر است با بیشینه کردن آنتروپی توزیع درجه ها. با بهینه کردن آنتروپی توزیع درجه ها به طراحی بهینه ی شبکه های مقیاس آزاد در مقابل خرابی های تصادفی می رسیم.
[1] Percolation theory